Производная функции 3 x. Как найти производную? Примеры решений
Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы . Также оттуда нам потребуется Таблица производных , ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.
Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная . Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы , например, освоить труднее.
Советую следующий порядок изучения темы : во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции . Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная . Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной . Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций .
Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.
Собственно, сразу рассмотрим пример:
Пример 1
Найти производную функции
Решение: 
Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .
Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию . Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием .
Обозначения : Производную обозначают или .
ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!
Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть : правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:
производную константы:
, где – постоянное число;
производную степенной функции:
, в частности: , , .
Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.
В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования :
1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной
Где – постоянное число (константа)
Пример 2
Найти производную функции
Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .
Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:
А теперь превращаем наш косинус по таблице:
Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:
2) Производная суммы равна сумме производных
Пример 3
Найти производную функции
Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:
Применяем второе правило:
Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.
Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:
Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:
Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.
Пример 4
Найти производную функции 
Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.
3) Производная произведения функций
Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:
Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной . Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:
Пример 5
Найти производную функции
Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:
Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.
Пример 6
Найти производную функции 
В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:
Теперь для скобки используем два первых правила:
В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
Готово.
При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что 
.
Пример 7
Найти производную функции 
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)
4) Производная частного функций
В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:
Пример 8
Найти производную функции
Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:
Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной.
Приводятся примеры вычисления производных с применением формулы производной сложной функции.
Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
;
;
;
;
.
Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или ,
расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.
Обычно, в таблицах производных , приводятся производные функций от переменной x . Однако x - это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u .
Простые примеры
Пример 1
Найти производную сложной функции
.
Решение
Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.
По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .
Ответ
Пример 2
Найти производную
.
Решение
Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.
.
Здесь .
Ответ
Пример 3
Найдите производную
.
Решение
Выносим постоянную -1
за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Ответ
Более сложные примеры
В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных . Также мы применяем правила дифференцирования суммы , произведения и дроби . Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.
Пример 4
Найдите производную
.
Решение
Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .
.
Здесь мы использовали обозначение
.
Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.
Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь .
Ответ
Пример 5
Найдите производную функции
.
Решение
Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.
И теорему о производной сложной функции, формулировка которой такова:
Пусть 1) функция $u=\varphi (x)$ имеет в некоторой точке $x_0$ производную $u_{x}"=\varphi"(x_0)$, 2) функция $y=f(u)$ имеет в соответствующей точке $u_0=\varphi (x_0)$ производную $y_{u}"=f"(u)$. Тогда сложная функция $y=f\left(\varphi (x) \right)$ в упомянутой точке также будет иметь производную, равную произведению производных функций $f(u)$ и $\varphi (x)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_{u}"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
или, в более короткой записи: $y_{x}"=y_{u}"\cdot u_{x}"$.
В примерах этого раздела все функции имеют вид $y=f(x)$ (т.е. рассматриваем лишь функции одной переменной $x$). Соответственно, во всех примерах производная $y"$ берётся по переменной $x$. Чтобы подчеркнуть то, что производная берётся по переменной $x$, часто вместо $y"$ пишут $y"_x$.
В примерах №1, №2 и №3 изложен подробный процесс нахождения производной сложных функций. Пример №4 предназначен для более полного понимания таблицы производных и с ним имеет смысл ознакомиться.
Желательно после изучения материала в примерах №1-3 перейти к самостоятельному решению примеров №5, №6 и №7. Примеры №5, №6 и №7 содержат краткое решение, чтобы читатель мог проверить правильность своего результата.
Пример №1
Найти производную функции $y=e^{\cos x}$.
Нам нужно найти производную сложной функции $y"$. Так как $y=e^{\cos x}$, то $y"=\left(e^{\cos x}\right)"$. Чтобы найти производную $\left(e^{\cos x}\right)"$ используем формулу №6 из таблицы производных . Дабы использовать формулу №6 нужно учесть, что в нашем случае $u=\cos x$. Дальнейшее решение состоит в банальной подстановке в формулу №6 выражения $\cos x$ вместо $u$:
$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)" \tag {1.1}$$
Теперь нужно найти значение выражения $(\cos x)"$. Вновь обращаемся к таблице производных, выбирая из неё формулу №10. Подставляя $u=x$ в формулу №10, имеем: $(\cos x)"=-\sin x\cdot x"$. Теперь продолжим равенство (1.1), дополнив его найденным результатом:
$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x") \tag {1.2} $$
Так как $x"=1$, то продолжим равенство (1.2):
$$ y"=\left(e^{\cos x} \right)"=e^{\cos x}\cdot (\cos x)"= e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot x")=e^{\cos x}\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^{\cos x} \tag {1.3} $$
Итак, из равенства (1.3) имеем: $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$. Естественно, что пояснения и промежуточные равенства обычно пропускают, записывая нахождение производной в одну строку, - как в равенстве (1.3). Итак, производная сложной функции найдена, осталось лишь записать ответ.
Ответ : $y"=-\sin x\cdot e^{\cos x}$.
Пример №2
Найти производную функции $y=9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x)$.
Нам необходимо вычислить производную $y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Для начала отметим, что константу (т.е. число 9) можно вынести за знак производной:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)" \tag {2.1} $$
Теперь обратимся к выражению $\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"$. Чтобы выбрать нужную формулу из таблицы производных было легче, я представлю рассматриваемое выражение в таком виде: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{12}\right)"$. Теперь видно, что необходимо использовать формулу №2, т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. В эту формулу подставим $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ и $\alpha=12$:
Дополняя равенство (2.1) полученным результатом, имеем:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag {2.2} $$
В этой ситуации часто допускается ошибка, когда решатель на первом шаге выбирает формулу $(\arctg \; u)"=\frac{1}{1+u^2}\cdot u"$ вместо формулы $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^{\alpha-1}\cdot u"$. Дело в том, что первой должна находиться производная внешней функции. Чтобы понять, какая именно функция будет внешней для выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$, представьте, что вы считаете значение выражения $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$ при каком-то значении $x$. Сначала вы посчитаете значение $5^x$, потом умножите результат на 4, получив $4\cdot 5^x$. Теперь от этого результата берём арктангенс, получив $\arctg(4\cdot 5^x)$. Затем возводим полученное число в двенадцатую степень, получая $\arctg^{12}(4\cdot 5^x)$. Последнее действие, - т.е. возведение в степень 12, - и будет внешней функцией. И именно с неё надлежит начинать нахождение производной, что и было сделано в равенстве (2.2).
Теперь нужно найти $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Используем формулу №19 таблицы производных, подставив в неё $u=4\cdot \ln x$:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Немного упростим полученное выражение, учитывая $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac{1}{1+(4\cdot \ln x)^2}\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Равенство (2.2) теперь станет таким:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)" \tag {2.3} $$
Осталось найти $(4\cdot \ln x)"$. Вынесем константу (т.е. 4) за знак производной: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)"$. Для того, чтобы найти $(\ln x)"$ используем формулу №8, подставив в нее $u=x$: $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(\ln x)"=\frac{1}{x}\cdot x"=\frac{1}{x}\cdot 1=\frac{1}{x}$. Подставив полученный результат в формулу (2.3), получим:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^{12}(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot (4\cdot \ln x)"=\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^{11}\cdot \frac{1}{1+16\cdot \ln^2 x}\cdot 4\cdot \frac{1}{x}=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}. $$
Напомню, что производная сложной функции чаще всего находится в одну строку, - как записано в последнем равенстве. Поэтому при оформлении типовых расчетов или контрольных работ вовсе не обязательно расписывать решение столь же подробно.
Ответ : $y"=432\cdot \frac{\arctg^{11}(4\cdot \ln x)}{x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)}$.
Пример №3
Найти $y"$ функции $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}$.
Для начала немного преобразим функцию $y$, выразив радикал (корень) в виде степени: $y=\sqrt{\sin^3(5\cdot9^x)}=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$. Теперь приступим к нахождению производной. Так как $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}$, то:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)" \tag {3.1} $$
Используем формулу №2 из таблицы производных , подставив в неё $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac{3}{7}$:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}-1} (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Продолжим равенство (3.1), используя полученный результат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))" \tag {3.2} $$
Теперь нужно найти $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Используем для этого формулу №9 из таблицы производных, подставив в неё $u=5\cdot 9^x$:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Дополнив равенство (3.2) полученным результатом, имеем:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" \tag {3.3} $$
Осталось найти $(5\cdot 9^x)"$. Для начала вынесем константу (число $5$) за знак производной, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9^x)"$. Для нахождения производной $(9^x)"$ применим формулу №5 таблицы производных, подставив в неё $a=9$ и $u=x$: $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"$. Так как $x"=1$, то $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Теперь можно продолжить равенство (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{3}{7}}\right)"=\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)"= \frac{3}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}} \cos(5\cdot 9^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можно вновь от степеней вернуться к радикалам (т.е. корням), записав $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}$ в виде $\frac{1}{\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{\frac{4}{7}}}=\frac{1}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$. Тогда производная будет записана в такой форме:
$$ y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^{-\frac{4}{7}}\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}. $$
Ответ : $y"=\frac{15\cdot \ln 9}{7}\cdot \frac{\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x}{\sqrt{\sin^4(5\cdot 9^x)}}$.
Пример №4
Показать, что формулы №3 и №4 таблицы производных есть частный случай формулы №2 этой таблицы.
В формуле №2 таблицы производных записана производная функции $u^\alpha$. Подставляя $\alpha=-1$ в формулу №2, получим:
$$(u^{-1})"=-1\cdot u^{-1-1}\cdot u"=-u^{-2}\cdot u"\tag {4.1}$$
Так как $u^{-1}=\frac{1}{u}$ и $u^{-2}=\frac{1}{u^2}$, то равенство (4.1) можно переписать так: $\left(\frac{1}{u} \right)"=-\frac{1}{u^2}\cdot u"$. Это и есть формула №3 таблицы производных.
Вновь обратимся к формуле №2 таблицы производных. Подставим в неё $\alpha=\frac{1}{2}$:
$$\left(u^{\frac{1}{2}}\right)"=\frac{1}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}-1}\cdot u"=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u"\tag {4.2} $$
Так как $u^{\frac{1}{2}}=\sqrt{u}$ и $u^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{u}}$, то равенство (4.2) можно переписать в таком виде:
$$ (\sqrt{u})"=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot u"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u" $$
Полученное равенство $(\sqrt{u})"=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u"$ и есть формула №4 таблицы производных. Как видите, формулы №3 и №4 таблицы производных получаются из формулы №2 подстановкой соответствующего значения $\alpha$.
Доказательство и вывод формул производной экспоненты (e в степени x) и показательной функции (a в степени x). Примеры вычисления производных от e^2x, e^3x и e^nx. Формулы производных высших порядков.
Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)
(e x )′
= e x
.
Производная показательной функции с основанием степени a
равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a
:
(2)
.
Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x
Экспонента - это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной экспоненты
Рассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
y = e x
.
Эта функция определена для всех .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:
(3)
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А)
Свойство экспоненты :
(4)
;
Б)
Свойство логарифма :
(5)
;
В)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)
.
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г)
Значение второго замечательного предела:
(7)
.
Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.
Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при ,
.
В результате получаем:
.
Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем:
.
Применим свойство логарифма (5):
.
Тогда
.
Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.
Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной показательной функции
Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a
.
Мы считаем, что и .
Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .
Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции
и логарифма
.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.
Производные высших порядков от e в степени x
Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)
.
(1)
.
Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.
Производные высших порядков показательной функции
Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a
:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15)
.
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на .
Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.
