Значение слова тождество. Понятие тождества

Каждый школьник младших классов знает, что от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, это утверждение верно и для множителей и произведения. То есть, согласно переместительному закону,
a + b = b + a и
a · b = b · a.

Сочетательный закон утверждает:
(a + b) + c = a + (b + c) и
(ab)c = a(bc).

А распределительный закон констатирует:
a(b + c) = ab + ac.

Мы вспомнили самые элементарные примеры применения данных математических законов, но все они распространяются на весьма широкие числовые области.

При любом значении переменной х значение выражений 10(х + 7) и 10х + 70 равны, так как для любых чисел выполняется распределительный закон умножения. О таких выражениях говорят, что они тождественно равны на множестве всех чисел.

Значения выражения 5х 2 /4а и 5х/4 в силу основного свойства дроби равны при любом значении х, кроме 0. Такие выражения называют тождественно равными на множестве всех чисел. Кроме 0.

Два выражения с одной переменной называются тождественно равными на множестве, если при любом значении переменной, принадлежащем этому множеству, их значения равны.

Аналогично определяют тождественное равенство выражений с двумя, трёмя и т.д. переменными на некотором множестве пар, троек и т.д. чисел.

Например, выражение 13аb и (13а)b тождественно равны на множестве всех пар чисел.

Выражение 7b 2 c/b и 7bc тождественно равны на множестве всех пар значений переменных b и c, в которых значение b не равно 0.

Равенства, в которых левая и правая части – выражения, тождественно равные на некотором множестве, называются тождествами на этом множестве.

Очевидно, что тождество на множестве обращается в истинное числовое равенство при всех значениях переменной (при всех парах, тройках и т.д. значений переменных), принадлежащих этому множеству.

Итак, тождество – это равенство с переменными, верное при любых значениях входящих в него переменных.

Например, равенство 10(х + 7) = 10х + 70 является тождеством на множестве всех чисел, оно обращается в истинное числовое равенство при любом значении х.

Истинные числовые равенства также называют тождествами. Например, равенство 3 2 + 4 2 = 5 2 – тождество.

В курсе математики приходится выполнять различные преобразования. Например, сумму 13х + 12х мы можем заменить выражением 25х. Произведение дробей 6а 2 /5 · 1/a заменим дробью 6а/5. Получается, что выражения 13х + 12х и 25х тождественно равны на множестве всех чисел, а выражения 6а 2 /5 · 1/a и 6а/5 тождественно равны на множестве всех чисел, кроме 0. Замену выражения другим выражением, тождественно равным ему на некотором множестве, называют тождественным преобразованием выражения на этом множестве.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Тождество - это философско-логическое понятие, выражающее равенство (одинаковость) предмета или явления с самим собой либо равенство нескольких предметов или явлений между собой. Тождество обычно представлено в естественном языке либо в форме «a (есть) то же, что и b » или «a тождественно b », что может быть символизировано как «a = b » (такое утверждение обычно называют абсолютным тождеством), либо в форме «a есть то же по свойству Φ, что и b » (утверждения подобного вида называются относительным тождеством и могут быть символизированы как «a = Φ b »).

Утверждения тождества, как правило, истолковываются различным образом. Наиболее ограничительным является предложение Л. Витгенштейна, выдвинутое в его «Логико-философском трактате» (1921): элиминировать утверждения тождества путём введения специальных ограничений на единичные термины, когда каждому предмету сопоставляется не более одного единичного термина. Альтернативный подход представлен классической теорией тождества (Дж. Перри, Дж. Нельсон), сводящей все тождества естественного языка к абсолютным тождествам (обычно в этом случае тождество определяется с помощью закона Г. В. Лейбница x = y = Df ∀F (F (x ) = F (y ))), и релятивистской теорией (П. Гич), сводящей все тождества к относительным.

Существует и смешанная нередукционистская стратегия (Д. Одегард), когда принимаются во внимание оба вида тождества. Классическая теория тождества базируется на утверждении о том, что всё тождественно самому себе, ничто не является тождественным чему-либо ещё, кроме самого себя (Д. Льюис). Однако при подобном понимании тождества для физических объектов возникают проблемы преемственности (самотождественны ли длящиеся во времени предметы, сохраняются ли предметы после замены их частей). Согласно Г. Фреге, мы должны уметь распознавать объект, обозначенный введённым нами символом, как тот же самый. В связи с этим вводится принцип неразличимости тождественных предметов, гласящий, что тождественные объекты неразличимы по свойствам. Такое понятие тождества удобно для математических целей, где объекты заданы жёстко и не изменяются со временем.

Теория относительного тождества принимает следующий постулат: два предмета могут совпадать по отношению к одному свойству и различаться по отношению к другому. Тем не менее, теория относительного тождества сводится к классической теории абсолютного тождества, если ввести двухместный предикат тождества с помощью определения x = y = Df ∃ψ(x = ψ y ) (Л. Стивенсон), либо считать закон Лейбница определением тождества и принять аксиому х = Φ y ⊃ ∀Ψ (Ψ(x ) ≡ Ψ(y )).

Формальные теории относительного тождества в большинстве своём строятся в рамках второпорядковой логики, поскольку приходится вести речь о совокупности свойств. Отношению относительного тождества в этом случае сопоставляется множество свойств Δ Φ , такое, что Φ-тождественность влечёт неразличимость по отношению к свойствам из Δ Φ . Полная спецификация Δ Φ для данного Φ в общем случае затруднительна (при конструктивистском подходе прибегают к абстракции отождествления , при которой выделяются общие свойства и отношения при одновременном отвлечении от некоторых характеристик исследуемых объектов). Обычно вводят Δ как новый константный (реляционный) символ отношения на свойствах и определяют относительное тождество как x = Φ у тогда и только тогда, когда для каждого Ψ, такого, что Δ Φ (Ψ), Ψ(x ) тогда и только тогда, когда Ψ(y ). Интуитивно Δ Φ (Ψ) означает, что Ψ является членом множества свойств Δ Φ , определяемого для Φ и замкнутого относительно отрицания, конъюнкции и импликации. Более гибкая трактовка получается при переходе к неклассической второпорядковой логике, например трёхзначной второпорядковой логике (Р. Роутли и Н. Гриффин).

В последние десятилетия проблема тождества часто обсуждалась в связи с проблемой семантики возможных миров . Центральными вопросами при этом были проблема подстановки тождественных выражений и проблема идентификации индивидов сквозь возможные миры. Закон подстановки тождественного гласит, что если один из двух тождественных объектов обладает определённым свойством, то им обладает и второй объект. Однако в модальных контекстах это приводит к тому, что все тождества являются необходимыми тождествами, то есть если a = b , то выводимо (a = b ). Тем самым ставится под сомнение возможность случайных утверждений о тождестве.

Для решения этой проблемы С. Крипке вводит в рассмотрение термин «жёсткий десигнатор», обозначающий один и тот же объект во всех возможных мирах. В этом случае если a и b являются жёсткими десигааторами, то утверждение a = b не только истинно, но и необходимо истинно. В противном случае из a = b не следует (a = b ), хотя объекты, обозначенные как a и b , будут тождественны.

Другое решение, предложенное Я. Хинтиккой, заключается в задании подкласса класса индивидуальных концептов (то есть функций, принимающих в качестве своих аргументов возможные миры, а в качестве значений - объекты соответствующих предметных областей). Элементы этого подкласса (индивидуирующие функции или мировые линии) служат для связи индивидов из различных предметных областей, присущих различным мирам (например, имя «Сократ» означает лицо, являющееся Сократом в различных обстоятельствах, другими словами, означает всех индивидов в различных мирах, связанных между собой мировой линией). Индивиды, связанные мировыми линиями, являются как раз теми индивидами, которые предполагаются тождественными в подходе Крипке.

В представлениях знаний и эпистемических контекстах часто возникает необходимость в представлении ложных тождеств, то есть ситуаций, в которых объекты, считающиеся субъектом тождественными, на самом деле различны, или наоборот, тождественные объекты полагаются различными. Теория жёстких десигнаторов не предусматривает таких ситуаций, в то время как подход Хинтикки позволяет рассматривать два различных способа отождествления: субъективный и обычный. Субъективное отождествление связывает два объекта мировой линией тогда и только тогда, когда они полагаются тождественными некоторым субъектом в определённом состоянии знания.

Зако́н то́ждества - принцип постоянства или принцип сохранности предметного и смыслового значений суждений (высказываний) в некотором заведомо известном или подразумеваемом контексте (в выводе, доказательстве, теории) . Является одним из законов классической логики .

В процессе рассуждения каждое понятие , суждение должно употребляться в одном и том же смысле. Предпосылкой этого является возможность различения и отождествления тех объектов, о которых идёт речь. . Мысль о предмете должна иметь определённое, устойчивое содержание, сколько бы раз она ни повторялась. Важнейшее свойство мышления - его определённость - выражается данным логическим законом .

Применение

В повседневной жизни

Любой наш знакомый изменяется с каждым годом, но мы всё же отличаем его от других знакомых и незнакомых нам людей (имеется возможность различения), потому что он сохраняет основные черты, которые выступают как те же самые на всём протяжении жизни нашего знакомого (имеется возможность отождествления). То есть, в соответствии с законом Лейбница (определяющим понятие тождество) мы утверждаем, что наш знакомый изменился. Однако в соответствии с законом тождества мы утверждаем, что это один и тот же человек, поскольку в основе определения лежит понятие личность. Закон тождества требует, чтобы для описания одного и того же понятия мы всегда использовали одно и то же выражение (имя). Таким образом, мы одновременно рассматриваем один объект (знакомого) на двух различных уровнях абстракции . Возможность различения и отождествления определяется в соответствии с законом достаточного основания . В данном случае в качестве достаточного основания используется наше чувственное восприятие (см. опознание).

В юриспруденции

В формальной логике

Под тождественностью мысли самой себе в формальной логике понимается тождественность её объёма . Это означает, что вместо логической переменной A {\displaystyle A} в формулу « A {\displaystyle A} есть A {\displaystyle A} » могут быть подставлены мысли различного конкретного содержания , если они имеют один и тот же объём. Вместо первого A {\displaystyle A} в формуле « A {\displaystyle A} есть A {\displaystyle A} » мы можем подставить понятие «животное; обладающее мягкой мочкой уха» , а вместо второго - понятие «животное, обладающее способностью производить орудия труда» (обе эти мысли с точки зрения формальной логики считаются равнозначными, неразличимыми, так как они имеют один и тот же объём, а именно - признаки, отражённые в этих понятиях, относятся лишь к классу людей), и при этом получается истинное суждение «Животное, обладающее мягкой мочкой уха, есть животное, обладающее способностью производить орудия труда» .

В математике

В математической логике законом тождества называется тождественно истинная импликация логической переменной с самой собой X ⇒ X {\displaystyle X\Rightarrow X} .

В алгебре понятие арифметического равенства чисел рассматривается как особый случай общего понятия логического тождества. Однако имеются математики, которые, в противоположность данной точке зрения, не отождествляют символа « = {\displaystyle =} », встречающегося в арифметике, с символом логического тождества; они не считают, что равные числа непременно тождественны, и поэтому рассматривают понятие числового равенства как специфически арифметическое понятие. То есть полагают, что сам факт наличия или отсутствия особого случая логического тождества, должен определяться в рамках логики. .

Нарушения закона тождества

Когда закон тождества нарушается непроизвольно, по незнанию, тогда возникают логические ошибки, которые называются

Тождество - отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличи­мых друг от друга, в какой-то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отлича­ются нами друг от друга по каким-то характеристикам. Это не ис­ключает того обстоятельства, что у них есть и общие характеристики. В процессе познания мы отождествляем отдельные вещи в их общих характеристиках, объединяем их в множества по этим характерис­тикам, образуем понятия о них на основе абстракции отождествле­ния (см.: Абстракция). Предметы, объединяемые в множества по не­которым общим для них свойствам, перестают различаться между собой, поскольку в процессе такого объединения мы отвлекаемся от их различий. Иными словами, они становятся неразличимыми, тождественными в этих свойствах. Если бы все характеристики двух объектов а и b оказались тождественными, объекты превратились бы в один и тот же предмет. Но этого не происходит, т. к. в процессе познания мы отождествляем отличные друг от друга предметы не по всем характеристикам, а лишь по некоторым. Без установления тождеств и различий между предметами невозможно никакое по­знание окружающего нас мира, никакая ориентировка в окружаю­щей нас среде. Впервые в самой общей и идеализированной формулировке по­нятие Т. двух предметов дал Г. В. Лейбниц. Закон Лейбница можно сформулировать так: «х = у, если и только если х обладает каждым свойством, которым обладает у, а у обладает каждым свойством, кото­рым обладает х». Другими словами, предмет х может быть отождес­твлен с предметом у, когда абсолютно все их свойства являются одними и теми же. Понятие Т. широко используется в различных на­уках: в математике, логике и естествознании. Однако во всех случаях его применения тождество изучаемых предметов определяют не по абсолютно всем общим характеристикам, а лишь по некоторым, что связано с целями их изучения, с тем контекстом научной тео­рии, в пределах которой изучаются эти предметы.

Определения, значения слова в других словарях:

Философский словарь

Отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличимых друг от друга, в какой-то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отличаются нами друг от друга по каким-то...

- это уравнение , которое удовлетворяется тождественно, то есть справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. С логической точки зрения, Тождество - это предикат , изображаемый формулой х = у (читается: «х тождественно у », «х то же самое, что и y »), которому соответствует логическая функция, истинная, когда переменные х и у означают различные вхождения «одного и того же» предмета, и ложная в противном случае. С философской (гносеологической) точки зрения, Тождество - это отношение , основанное на представлениях или суждениях о том, что такое «один и тот же» предмет реальности, восприятия, мысли.

Логические и философские аспекты Тождество дополнительны: первый даёт формальную модель понятия Тождество , второй - основания для применения этой модели. Первый аспект включает понятие об «одном и том же» предмете, но смысл формальной модели не зависит от содержания этого понятия: игнорируются процедуры отождествлений и зависимость результатов отождествлений от условий или способов отождествлений, от явно или неявно принимаемых при этом абстракций. Во втором (философском) аспекте рассмотрения основания для применения логических моделей Тождество связываются с тем, как отождествляются предметы, по каким признакам, и уже зависят от точки зрения, от условий и средств отождествления.

Различение логических и философских аспектов Тождество восходит к известному положению, что суждение о тождественности предметов и Тождество как понятие - это не одно и то же (см. Платон, Соч., т. 2, М., 1970, с. 36). Существенно, однако, подчеркнуть независимость и непротиворечивость этих аспектов: понятие Тождество исчерпывается смыслом соответствующей ему логической функции; оно не выводится из фактической тождественности предметов, «не извлекается» из неё, а является абстракцией, восполняемой в «подходящих» условиях опыта или, в теории, - путём предположений (гипотез ) о фактически допустимых отождествлениях; вместе с тем, при выполнении подстановочности (см. ниже аксиому 4) в соответствующем интервале абстракции отождествления, «внутри» этого интервала, фактическое Тождество предметов в точности совпадает с Тождество в логическом смысле.

Важность понятия Тождество обусловила потребность в специальных теориях Тождество Самый распространённый способ построения этих теорий - аксиоматический. В качестве аксиом можно указать, например, следующие (не обязательно все):

1. х = х ,

2. х = у É у = х ,

3. x = y & y = z É x = z ,

4. А (х ) É (х = у É А (у )),

где А (х ) - произвольный предикат, содержащий х свободно и свободный для у , а А (х ) и А (у ) различаются только вхождениями (хотя бы одним) переменных х и y .

Аксиома 1 постулирует свойство рефлексивности Тождество В традиционной логике она считалась единственным логическим законом Тождество , к которому в качестве «нелогических постулатов» добавляли обычно (в арифметике, алгебре, геометрии) аксиомы 2 и З. Аксиому 1 можно считать гносеологически обоснованной, поскольку она является своего рода логическим выражением индивидуации, на котором, в свою очередь, основывается «данность» предметов в опыте, возможность их узнавания: чтобы говорить о предмете «как данном», необходимо как-то выделить его, отличить от др. предметов и в дальнейшем не путать с ними. В этом смысле Тождество , основанное на аксиоме 1, является особым отношением «самотождественности», которое связывает каждый предмет только с самим собой - и ни с каким др. предметом.

Аксиома 2 постулирует свойство симметричности Тождество Она утверждает независимость результата отождествления от порядка в парах отождествляемых предметов. Эта аксиома также имеет известное оправдание в опыте. Например, порядок расположения гирь и товара на весах различен, если смотреть слева направо, для покупателя и продавца, обращенных лицом друг к другу, но результат - в данном случае равновесие - один и тот же для обоих.

Аксиомы 1 и 2 совместно служат абстрактным выражением Тождество как неразличимости, теории, в которой представление об «одном и том же» предмете основывается на фактах не наблюдаемости различий и существенно зависит от критериев различимости, от средств (приборов), отличающих один предмет от другого, в конечном счёте - от абстракции неразличимости. Поскольку зависимость от «порога различимости» на практике принципиально неустранима, представление о Тождество , удовлетворяющем аксиомам 1 и 2, является единственным естественным результатом, который можно получить в эксперименте.

Аксиома 3 постулирует транзитивность Тождество Она утверждает, что суперпозиция Тождество также есть Тождество и является первым нетривиальным утверждением о тождественности предметов. Транзитивность Тождество - это либо «идеализация опыта» в условиях «убывающей точности», либо абстракция, восполняющая опыт и «создающая» новый, отличный от неразличимости, смысл Тождество : неразличимость гарантирует только Тождество в интервале абстракции неразличимости, а эта последняя не связана с выполнением аксиомы З. Аксиомы 1, 2 и 3 совместно служат абстрактным выражением теории Тождество как эквивалентности .

Аксиома 4 постулирует необходимым условием для Тождество предметов совпадение их признаков. С логической точки зрения, эта аксиома очевидна: «одному и тому же» предмету принадлежат все его признаки. Но поскольку представление об «одном и том же» предмете неизбежно основывается на определённого рода допущениях или абстракциях, эта аксиома не является тривиальной. Её нельзя верифицировать «вообще» - по всем мыслимым признакам, а только в определённых фиксированных интервалах абстракций отождествления или неразличимости. Именно так она и используется на практике: предметы сравниваются и отождествляются не по всем мыслимым признакам, а только по некоторым - основным (исходным) признакам той теории, в которой хотят иметь понятие об «одном и том же» предмете, основанное на этих признаках и на аксиоме 4. В этих случаях схема аксиом 4 заменяется конечным списком её аллоформ - конгруентных ей «содержательных» аксиом Тождество Например, в аксиоматической теории множеств Цермело - Френкеля - аксиомами:

4.1 z Î x É (x = y É z Î y ),

4.2 x Î z É (x = y É y Î z ),

определяющими, при условии, что универсум содержит только множества, интервал абстракции отождествления множеств по «членству в них» и по их «собственному членству», с обязательным добавлением аксиом 1-3, определяющих Тождество как эквивалентность.

Перечисленные выше аксиомы 1-4 относятся к так называемым законам Тождество Из них, используя правила логики, можно вывести и многие др. законы, неизвестные в до математической логике. Различие между логическим и гносеологическим (философским) аспектами Тождество не имеет значения, коль скоро речь идёт об общих абстрактных формулировках законов Тождество Дело, однако, существенно меняется, когда эти законы используются для описания реалий. Определяя понятие «один и тот же» предмет, аксиоматики Тождество необходимо влияют на формирование универсума «внутри» соответствующей аксиоматической теории.

Лит.: Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новоселов М., Тождество, в кн.: Философская энциклопедия, т. 5, М., 1970; его же, О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и современное научное познание, М., 1976; Шрейдер Ю. А., Равенство, сходство, порядок, М., 1971; Клини С. К., Математическая логика, пер. с англ., М., 1973; Frege G., Schriften zur Logik, ., 1973.

М. М. Новосёлов.

Статья про слово "Тождество " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 8309 раз